lab3_ot4et



Министерство образования Республики Беларусь

«Белорусский государственный технологический университет»

 

 

 

Лабораторная работа №3

по курсу «Теория автоматического управления»

по теме «Устойчивость линейных систем»

Кафедра АППиЭ

Вариант 2, номер по журналу — 2

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

студент четвёртой группы

третьего курса

ф-та ХТиТ

Брель Н. М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверил:

Лялько А. А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минск, 2014

Цель работы: исследование устойчивости линейных систем

1. Теоретическая часть

Устойчивость является одним из главных требований, предъявляемым к автоматическим системам. Судить об устойчивости системы позволяют критерии устойчивости. К алгебраическим критериям относятся критерии Рауса и Гурвица, которые позволяют определить устойчивость системы по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы. К частотным критериям относятся критерии Михайлова и Найквиста, которые позволяют судить об устойчивости системы по частотным характеристикам . В данной работе мы будем пользоваться критерием Гурвица и Найквиста так как они являются наиболее распространенными.

Критерий устойчивости Гурвица:

Для определения устойчивости необходимо приравнять к нулю знаменатель передаточной функции замкнутой системы и найти ее характеристическое уравнение.

-замкнутая системы относительно разомкнутой

Из коэффициентов характеристического уравнения :

 

составляем матрицу по следующему правилу: на главной диагонали сверху вниз выписываются по порядку коэффициенты характеристического уравнения от до ,затем в каждом столбце вниз от диагонали записываются коэффициенты при возрастающих степенях оператора , вверх при убывающих степенях , недостающие элементы в столбце дополняются нулями. В результате получим квадратную матрицу вида:

 

 

Формулировка критерия: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно что бы все n диагональных миноров, полученных из матрицы Гурвица были положительны:

 

Поскольку определитель -го порядка должен быть положительным, последнее условие соответствует требованию

Критерий устойчивости Найквиста:

Позволяет определить устойчивость замкнутой системы по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной функции АФЧХ разомкнутой системы. Формулировка критерия: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ устойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывала точку с координатами .

Рис.1.Иллюстрация критерия Найквиста :
1 – устойчивые
;2 — неустойчивая замкнутые системы

Разомкнутая система может быть неустойчива, однако это не означает, что неустойчивой будет и замкнутая система. В этой ситуации формулировка критерия Найквиста изменяется: замкнутая система будет устойчивой тогда и только тогда, когда АФЧХ неустойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до охватывает точку с координатами в положительном направлении r/2 раз, где r –число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Условие границы устойчивости:

замкнутая система будет находится на границе устойчивости, если при АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами .

 

Рис.2.Иллюстрация границы устойчивости

 

На основе критерия Найквиста можно получить частотные оценки запаса устойчивости, которые характеризуют удаление АФЧХ разомкнутой системы от критической точки

.

Запас устойчивости по модулю (а) показывает насколько можно увеличить модуль АФЧХ разомкнутой системы без потери устойчивости замкнутой

Запас устойчивости по фазе() определяется на частоте , где .Он показывает насколько можно изменить фазу АФЧХ разомкнутой системы без потери устойчивости замкнутой. Для этого необходимо построить окружность единичного радиуса, и соединить точку пересечения окружности и АФЧХ с началом координат.

Рис.3.запас по модулю и по фазе

Практическая часть

   Пример 1

Определить устойчивость замкнутой системы, если дана передаточная функция разомкнутой системы:

 

clc

clear

k=422

a1=107

a2=297

a3=538

a4=714

a5=81

a6=1

w=tf([k 10], [a1 a2 a3 a4 a5 1]) %задана пер. ф. разомкн. сист.

422 s + 10

————————————————

107 s^5 + 297 s^4 + 538 s^3 + 714 s^2 + 81 s + 1

step (w)

Переходная характеристика

w2=feedback (w, 1) % w(p) замкн. сист. с единичной ООС

422 s + 10

—————————————————

107 s^5 + 297 s^4 + 538 s^3 + 714 s^2 + 503 s + 11

figure(2)

step (w2)

Переходная характеристика замкнутой системы с ООС

%по полюсам замкн. сист.

figure (3)

pzmap (w2)

Нули и полюса

%т.к. все полюса (крестики) з.с. нах. в левой отриц. полуплоскости, то з.с.

%устойчивая

%критерий Найквиста:

figure (4)

nyquist (w)

Диаграмма Найквиста

 

Критерий Найквиста с отображением запаса устойчивости по фазе и по амплитуде

%Т.к АФЧХ разомк. системы не охватывает точку «-1» на комплексной плоскости, то замкнутая система является устойчивой

%Найдём численное значение полюсов и нулей

[p z]=pzmap (w2) %Критерий Гурвица

p =

-0.1327 + 1.5558i

-0.1327 — 1.5558i

-1.2438 + 0.5659i

-1.2438 — 0.5659i

-0.0226 + 0.0000i

 

z =

-0.0237

%Получим вектора коэф. числителя и знаменателя

[n a]=tfdata (w, ‘v’)

n = 0 0 0 0 422 10

a = 107 297 538 714 81 1

%Составим матрицу Гурвица:

A=[a2 a4 a6 0 0;

a1 a3 a5 0 0;

0 a2 a4 a6 0;

0 a1 a3 a5 0;

0 0 a2 a4 a6]

A =

297 714 1 0 0

107 538 81 0 0

0 297 714 1 0

0 107 538 81 0

0 0 297 714 1

%Расчёт определителей Гурвица:

D1=det(A(1:1,1:1))

D2=det(A(1:2,1:2))

D3=det(A(1:3,1:3))

D4=det(A(1:4,1:4))

D5=det(A(1:5,1:5))

D1 = 297

D2 = 83388

D3 = 52425882

D4 = 4.2042e+09

D5 = 4.2042e+09

%т.к. определители все положительные, то замкн. дин. система устойчивая.

   Код программы:

clc

clear

k=422

a1=107

a2=297

a3=538

a4=714

a5=81

a6=1

w=tf([k 10], [a1 a2 a3 a4 a5 1]) %задана пер. ф. разомкн. сист.

step (w)

w2=feedback (w, 1) % w(p) замкн. сист. с единичной ООС

figure(2)

step (w2)

%по полюсам замкн. сист.

figure (3)

pzmap (w2)

%т.к. все полюса (крестики) з.с. нах в левой отриц. полуплоскости, то з.м.

%устойчивая

[p z]=pzmap (w2)

%критерий Найквиста:

figure (4)

nyquist (w)

%критерий Гурвица:

[n a]=tfdata (w, ‘v’)

A=[a2 a4 a6 0 0;

a1 a3 a5 0 0;

0 a2 a4 a6 0;

0 a1 a3 a5 0;

0 0 a2 a4 a6]

D1=det(A(1:1,1:1))

D2=det(A(1:2,1:2))

D3=det(A(1:3,1:3))

D4=det(A(1:4,1:4))

D5=det(A(1:5,1:5))

%т.к. определители все положительные, то замкн. дин. система устойчивая.

 

Posted in Без рубрики

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *